Найти все натуральные числа n, для которых все числа n+1, n+3, n+7,
n+9, n+15 являются простыми? Помогите пожалуйста! Задача жизни

Нужно найти натуральные \( n \), при которых все числа \( n+1 \), \( n+3 \), \( n+7 \), \( n+9 \), \( n+15 \) простые.

Посмотрим на эти числа по модулю \( 5 \). Остатки прибавок такие:

\[1,\ 3,\ 7,\ 9,\ 15\]

По модулю \( 5 \) это то же самое, что:

\[1,\ 3,\ 2,\ 4,\ 0\]

То есть среди чисел \( n+1 \), \( n+3 \), \( n+7 \), \( n+9 \), \( n+15 \) обязательно найдётся число, которое делится на \( 5 \).

Но если число простое и делится на \( 5 \), то оно должно быть равно \( 5 \). Проверим варианты:

• \( n+1=5 \), тогда \( n=4 \). Получаем: \( 5,\ 7,\ 11,\ 13,\ 19 \) — все простые.
• \( n+3=5 \), тогда \( n=2 \). Получаем \( n+7=9 \), а \( 9 \) не простое.
• Остальные варианты \( n+7=5 \), \( n+9=5 \), \( n+15=5 \) дают не натуральные \( n \).

Ответ: \( n=4 \).

0 0 Пожаловаться