В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к боковой стороне, равна 9 и составляет с основанием угол 15 градусов. Найдите площадь треугольника.

Пусть основание равнобедренного треугольника равно \(2a\), а высота к основанию равна \(h\). Медиана проведена к боковой стороне и равна \(9\).

Если рассмотреть координаты, то для такой медианы получается:
\[\tan 15^\circ=\frac{h}{3a}\]
Значит,
\[h=3a\tan 15^\circ\]

Длина медианы:
\[9=\frac{1}{2}\sqrt{9a^2+h^2}\]

Подставим \(h=3a\tan 15^\circ\):
\[9=\frac{3a}{2\cos 15^\circ}\]
Отсюда:
\[a=6\cos 15^\circ\]

Тогда:
\[h=18\sin 15^\circ\]

Площадь треугольника:
\[S=\frac{1}{2}\cdot 2a\cdot h=ah\]
\[S=6\cos 15^\circ\cdot 18\sin 15^\circ=108\sin 15^\circ\cos 15^\circ\]

Так как \(2\sin 15^\circ\cos 15^\circ=\sin 30^\circ\), получаем:
\[S=54\sin 30^\circ=27\]

Ответ: \(27\).

0 0 Пожаловаться