В равнобедренном треугольнике с боковой стороной, равной 4, проведена медиана к боковой стороне. Найдите основание треугольника, если медиана равна 3.

Рассмотрим равнобедренный треугольник, в котором боковая сторона равна 4, а медиана, проведённая к боковой стороне, равна 3. Нужно найти основание этого треугольника.

1. Обозначим треугольник как $ABC$, где $AB = AC = 4$ — боковые стороны, а основание $BC = x$, которое нужно найти. Медиана $AM$ проведена к боковой стороне $BC$, и она делит основание пополам, то есть $BM = MC = \frac{x}{2}$. Длина медианы $AM = 3$.

2. В треугольнике $ABM$ применяется теорема Пифагора. Известно, что:

   • $AB = 4$,

   • $BM = \frac{x}{2}$,

   • $AM = 3$.

   По теореме Пифагора в треугольнике $ABM$ имеем:

   $$AB^2 = AM^2 + BM^2.$$

   Подставим известные значения:

   $$4^2 = 3^2 + \left(\frac{x}{2}\right)^2,$$ $$16 = 9 + \frac{x^2}{4}.$$

3. Переносим все в одну сторону:

   $$16 - 9 = \frac{x^2}{4},$$ $$7 = \frac{x^2}{4}.$$

4. Умножим обе стороны на 4:

   $$28 = x^2.$$

5. Извлекаем квадратный корень:

   $$x = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}.$$

Таким образом, основание треугольника $BC = 2\sqrt{7}$.