На загадочном калькуляторе есть волшебная кнопка,при нажатии которой к числу на экране прибавляется его сумма цифр. Сначала на экране было число 41, а затем много раз нажимали волшебную кнопку. Могло ли при этом в какой–то момент на экране появиться число 3333?
С решением, даю 10 баллов. Если решения нет, баллы не зачислю

Для решения этой задачи давайте проанализируем процесс изменения числа с помощью волшебной кнопки.

Исходное число на экране — 41. После каждого нажатия на кнопку к числу прибавляется сумма его цифр. Нам нужно понять, может ли при этом появиться число 3333.

1. Обозначим процесс: Пусть на экране какое-то число $N$, и после нажатия на кнопку оно изменяется на $N + S(N)$, где $S(N)$ — сумма цифр числа $N$. То есть, если на экране было число 41, то сумма цифр числа 41 — это $4 + 1 = 5$, и после нажатия на кнопку число становится $41 + 5 = 46$.

2. Рассмотрим число 3333. Нам нужно понять, возможно ли, чтобы число 3333 появилось после нескольких таких операций. Посмотрим на его сумму цифр:

   $$S(3333) = 3 + 3 + 3 + 3 = 12.$$

   Если на экране будет число 3333, то после нажатия на кнопку оно станет $3333 + 12 = 3345$.

3. Инвариант по модулю 9. Одной из ключевых особенностей операции является то, что сумма цифр числа сохраняет его остаток при делении на 9. Это свойство основано на том, что разность между числом и суммой его цифр всегда делится на 9. То есть, если $N$ — это число на экране, то $N \equiv S(N) \pmod{9}$.

   Давайте проверим остатки по модулю 9 для чисел 41 и 3333:

   • $41 \div 9 = 4$ (остаток 5), то есть $41 \equiv 5 \pmod{9}$.
   • $3333 \div 9 = 370$ (остаток 0), то есть $3333 \equiv 0 \pmod{9}$.

   Таким образом, на первом шаге, когда на экране число 41 (остаток 5 по модулю 9), после любого нажатия на кнопку остаток будет изменяться, но он никогда не станет равным 0 (остаток для 3333). Это значит, что из числа 41 невозможно получить число 3333, потому что остаток при делении на 9 не совпадает.

4. Заключение: Поскольку при каждом нажатии на кнопку остаток по модулю 9 сохраняется, а 41 имеет остаток 5, а 3333 — остаток 0, то из числа 41 с помощью волшебной кнопки невозможно получить число 3333. Поэтому ответ на задачу: нет, число 3333 не могло появиться на экране.