Задание 2. Сравните дроби:

а) 11/13 и 12/15 (9 баллов);

б) 6/8 и 30/40 (9 баллов);

в) 18/25 и 13/20 (9 баллов).

Укажите не только ответ, но и подробное решение.

Давайте сравним дроби поочередно. Для этого нужно либо привести их к общему знаменателю, либо сравнить с помощью десятичных дробей. Я использую первый способ, так как он обычно более понятен и нагляден.

а) Сравнение дробей $\frac{11}{13}$ и $\frac{12}{15}$

1. Приводим дроби к общему знаменателю.

   Для этого нужно найти наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей 13 и 15.

   Числа 13 и 15 взаимно простые (то есть их НОД = 1), поэтому НОК этих чисел — это их произведение:

   $$\text{НОК}(13, 15) = 13 \times 15 = 195$$

2. Приводим обе дроби к общему знаменателю 195.

   Для $\frac{11}{13}$ умножаем числитель и знаменатель на 15:

   $$\frac{11}{13} = \frac{11 \times 15}{13 \times 15} = \frac{165}{195}$$

   Для $\frac{12}{15}$ умножаем числитель и знаменатель на 13:

   $$\frac{12}{15} = \frac{12 \times 13}{15 \times 13} = \frac{156}{195}$$

3. Сравниваем числители.

   У нас получились дроби:

   $$\frac{165}{195} \quad \text{и} \quad \frac{156}{195}$$

   Поскольку 165 больше 156, то:

   $$\frac{11}{13} > \frac{12}{15}$$

Ответ: $\frac{11}{13} > \frac{12}{15}$.

б) Сравнение дробей $\frac{6}{8}$ и $\frac{30}{40}$

1. Упрощаем дроби.

   Начнем с упрощения дробей:

   • Для $\frac{6}{8}$ находим наибольший общий делитель чисел 6 и 8, который равен 2. Делим числитель и знаменатель на 2:
   $$\frac{6}{8} = \frac{6 \div 2}{8 \div 2} = \frac{3}{4}$$
   • Для $\frac{30}{40}$ находим наибольший общий делитель чисел 30 и 40, который равен 10. Делим числитель и знаменатель на 10:
   $$\frac{30}{40} = \frac{30 \div 10}{40 \div 10} = \frac{3}{4}$$

2. Сравниваем упрощенные дроби.

   Получили одинаковые дроби:

   $$\frac{3}{4} \quad \text{и} \quad \frac{3}{4}$$

   Следовательно, они равны.

Ответ: $\frac{6}{8} = \frac{30}{40}$.

в) Сравнение дробей $\frac{18}{25}$ и $\frac{13}{20}$

1. Приводим дроби к общему знаменателю.

   Находим НОК знаменателей 25 и 20. Для этого разложим эти числа на простые множители:

   • 25 = $5^2$
   • 20 = $2^2 \times 5$

   НОК(25, 20) = $2^2 \times 5^2 = 100$.

2. Приводим обе дроби к общему знаменателю 100.

   Для $\frac{18}{25}$ умножаем числитель и знаменатель на 4:

   $$\frac{18}{25} = \frac{18 \times 4}{25 \times 4} = \frac{72}{100}$$

   Для $\frac{13}{20}$ умножаем числитель и знаменатель на 5:

   $$\frac{13}{20} = \frac{13 \times 5}{20 \times 5} = \frac{65}{100}$$

3. Сравниваем числители.

   Получили дроби:

   $$\frac{72}{100} \quad \text{и} \quad \frac{65}{100}$$

   Поскольку 72 больше 65, то:

   $$\frac{18}{25} > \frac{13}{20}$$