Найдите угол между прямыми AB и CD, если A(1;1;2), B(0;1;1), C(2;-2;2) D(2;-3;1)

Ответы на вопрос

Отвечает Гулеева Александра.

Для нахождения угла между двумя прямыми, нужно использовать их направляющие векторы. Прямые AB и CD задаются точками A, B и C, D соответственно, поэтому сначала найдем направляющие векторы для этих прямых.

1. Нахождение направляющих векторов

Для прямой AB направляющий вектор можно найти, вычитая координаты точки A из координат точки B:

Вектор AB = B - A = (0 - 1, 1 - 1, 1 - 2) = (-1, 0, -1).

Для прямой CD направляющий вектор будет:

Вектор CD = D - C = (2 - 2, -3 - (-2), 1 - 2) = (0, -1, -1).

Итак, векторы:

Направляющий вектор для прямой AB: $\vec{AB} = (-1, 0, -1)$
Направляющий вектор для прямой CD: $\vec{CD} = (0, -1, -1)$

2. Формула для нахождения угла между двумя векторами

Чтобы найти угол между двумя векторами $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$ , используем формулу для косинуса угла между двумя векторами:

\cos \theta = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{CD}}{|\vec{AB}| |\vec{CD}|}

где:

$\vec{AB} \cdot \vec{CD}$ — скалярное произведение векторов,
$|\vec{AB}|$ и $|\vec{CD}|$ — длины векторов.

3. Скалярное произведение

Скалярное произведение векторов $\vec{AB} = (-1, 0, -1)$ и $\vec{CD} = (0, -1, -1)$ рассчитывается как:

\vec{AB} \cdot \vec{CD} = (-1) \cdot 0 + 0 \cdot (-1) + (-1) \cdot (-1) = 0 + 0 + 1 = 1

4. Длины векторов

Теперь найдем длины векторов $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$ :

|\vec{AB}| = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 0 + 1} = \sqrt{2}

|\vec{CD}| = \sqrt{0^2 + (-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{0 + 1 + 1} = \sqrt{2}

5. Нахождение угла

Теперь подставим значения в формулу для $\cos \theta$ :

\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2}

Следовательно, угол $\theta$ равен:

\theta = \cos^{-1} \left( \frac{1}{2} \right) = 60^\circ

Последние заданные вопросы в категории Математика