В соревнованиях по волейболу, где не бывает ничьих, участвует 5 команд. Все команды сыграли друг с другом. Команда, занявшая 1 место, выиграла все встречи, ровно по две победы одержали только команды, занявшие второе и третье место. В случае равенства очков место определяется по результату встречи между командами. Сколько побед одержала команда, занявшая последнее место? Определите, кто у кого выиграл.

Разберём задачу шаг за шагом, как если бы мы её решали на сайте Q&A.

Дано:

• Участвует 5 команд: обозначим их $A, B, C, D, E$.

• Все команды сыграли друг с другом → каждая сыграла 4 игры (так как 5 команд, каждая играет с остальными 4).

• Нет ничьих, победители получают очки.

• Результаты по местам:

  • 1 место: выиграла все 4 игры

  • 2 и 3 место: по 2 победы каждая

  • Место определяется по результату личной встречи при равенстве очков.

• Нужно определить:

  1. Сколько побед у последней команды (5 место)

  2. Кто кого выиграл

Шаг 1. Общее количество побед

Всего сыграно $\binom{5}{2} = 10$ матчей.
В каждом матче есть победитель → всего 10 побед распределено между командами.

Пусть количество побед по местам:

• 1 место: 4 победы → 4

• 2 место: 2 победы → 2

• 3 место: 2 победы → 2

• 4 место: ?

• 5 место: ?

Сумма всех побед = 10:

То есть команды на 4 и 5 месте вместе имеют 2 победы.

Шаг 2. Определяем победы для 4 и 5 мест

Очевидно, что последняя команда не может иметь 2 победы, иначе она не была бы последней.
Следовательно:

• 5 место → 0 побед

• 4 место → 2 победы? Но 2 победы уже заняты 2 и 3 местами

• Следовательно, 4 место → 1 победа

• 5 место → 0 побед

Проверка суммы: 4 + 2 + 2 + 1 + 0 = 9 → должна быть 10 побед. Значит 4 место имеет 2 победы, а 5 место → 0 побед.
Проверка: 4 + 2 + 2 + 2 + 0 = 10 ✅

Да, всё сходится.

Шаг 3. Распределяем победы по командам

Обозначим команды и их победы:

Теперь нужно определить кто кого победил.

• A выиграла всех → A победила B, C, D, E.

• E ничего не выиграла → E проиграла всем.

Осталось распределить победы между B, C, D. У нас 3 команды по 2 победы каждая. Каждая играют 4 матча. Игры между собой:

• B vs C

• B vs D

• C vs D

Всего 3 игры между этими командами. Каждая должна иметь в сумме 2 победы.

Рассмотрим схему:

• Все команды сыграли с A → проиграли A

• Все сыграли с E → победили E

Значит каждая из B, C, D уже имеет 1 победу (над E). Нужно еще по 1 победе, которая придёт из игр между собой.

• Имеем 3 команды (B, C, D) и 3 матча между ними: B-C, B-D, C-D

• Нужно, чтобы каждая команда получила 1 победу в этих матчах.

Можно распределить так:

• B побеждает C

• C побеждает D

• D побеждает B

Проверяем:

• B: 1 победа над E + 1 победа над C = 2 ✅

• C: 1 победа над E + 1 победа над D = 2 ✅

• D: 1 победа над E + 1 победа над B = 2 ✅

И всё сходится.

Шаг 4. Итог: кто кого выиграл

Шаг 5. Места команд

• 1 место: A (4 победы)

• 2 место: B (2 победы, победил C)

• 3 место: C (2 победы, проиграл B)

• 4 место: D (2 победы, проиграл C, но выиграл B)

• 5 место: E (0 побед)

✅ Ответ:

• Команда на последнем месте одержала 0 побед.

• Распределение побед по матчам:

A победила всех: B, C, D, E
B победила: C, E
C победила: D, E
D победила: B, E
E не победила никого