10. Найдите все возможные способы замены звёздочек цифрами, чтобы число 5757**
(а) делилось на 36, (б) делилось на 99.

Обозначим число как 5757ab, где a и b — цифры, которыми заменяются звёздочки.

Сумма уже известных цифр:

5 + 7 + 5 + 7 = 24

Значит сумма цифр всего числа равна:

24 + a + b

а) Делимость на 36

Число делится на 36, если оно одновременно делится на 4 и на 9, так как 36 = 4 · 9.

Для делимости на 9 сумма цифр должна делиться на 9:

24 + a + b делится на 9.

Так как 24 ≡ 6 mod 9, нужно, чтобы:

a + b ≡ 3 mod 9

Сумма двух цифр может быть от 0 до 18, значит подходят только:

a + b = 3 или a + b = 12

Для делимости на 4 последние две цифры, то есть число ab, должны делиться на 4.

Проверяем подходящие варианты.

При a + b = 3:

• 12 делится на 4.

Получаем число:

575712

При a + b = 12:

• 48 делится на 4;

• 84 делится на 4.

Получаем числа:

575748, 575784

Значит, в пункте а) подходят:

575712, 575748, 575784

б) Делимость на 99

Число делится на 99, если оно одновременно делится на 9 и на 11, так как 99 = 9 · 11.

Условие делимости на 9 уже такое же:

24 + a + b делится на 9

Значит:

a + b = 3 или a + b = 12

Теперь условие делимости на 11: разность суммы цифр, стоящих на нечётных местах, и суммы цифр, стоящих на чётных местах, должна делиться на 11.

Для числа 5757ab:

Нечётные места: 1-е, 3-е, 5-е:

5 + 5 + a = 10 + a

Чётные места: 2-е, 4-е, 6-е:

7 + 7 + b = 14 + b

Разность:

(10 + a) − (14 + b) = a − b − 4

Эта разность должна делиться на 11.

Так как a и b — цифры, выражение a − b − 4 может быть от −13 до 5. Среди кратных 11 здесь возможны только:

−11 или 0

Получаем два случая.

1) a − b − 4 = 0

Тогда:

a − b = 4

Совмещаем с условием делимости на 9.

Если a + b = 3, то решений нет, потому что разность 4 при такой сумме невозможна.

Если a + b = 12, решаем систему:

a − b = 4
a + b = 12

Складываем:

2a = 16, значит a = 8, тогда b = 4.

Получаем число:

575784

2) a − b − 4 = −11

Тогда:

a − b = −7

Совмещаем с условием делимости на 9.

Если a + b = 3, решений нет.

Если a + b = 12, решаем систему:

a − b = −7
a + b = 12

Складываем:

2a = 5, значит a = 2,5, а это не цифра.

Решений нет.

Значит, в пункте б) подходит только одно число:

575784

Ответ:

а) 575712, 575748, 575784
б) 575784