Кузнечик сидит на земле и собирается прыгать по длинной лестнице. Он умеет прыгать только на 3 ступени вверх или на 4 вниз. Какое наименьшее число прыжков он должен сделать, чтобы оказаться на 22-й ступеньке?

Обозначим положение кузнечика числом ступенек относительно земли (0). Он должен попасть в точку 22. За один прыжок он делает либо +3, либо −4.

Пусть он сделал $a$ прыжков вверх и $b$ прыжков вниз. Тогда:

• общее число прыжков: $a + b$

• итоговая позиция: $3a - 4b = 22$

Нужно минимизировать $a + b$.

Выразим $a$:

Чтобы $a$ было целым, подбираем $b$.

Пробуем значения $b$:

• $b = 2$:

  $$a = \frac{22 + 8}{3} = \frac{30}{3} = 10$$

  Тогда $a + b = 10 + 2 = 12$

Проверим:

Это работает.

Проверка на меньшее число шагов показывает, что при $k < 12$ целочисленного решения нет (из-за ограничений делимости и невозможности компенсировать −4 так, чтобы попасть ровно в 22).

Ответ: 12 прыжков.