Кузнечик прыгает вдоль координатной прямой в любом направлении на единичный отрезок за прыжок. Сколько существует различных точек на координатной прямой, в которых кузнечик может оказаться, сделав ровно 12 прыжков, начиная прыгать из начала координат?

Давайте разберём задачу. Кузнечик начинает движение из точки $0$ на координатной прямой и делает ровно $12$ прыжков, при этом он может прыгать в любом направлении (вперёд или назад). Необходимо определить количество различных точек, в которых он может оказаться после этих $12$ прыжков.

Шаг 1. Математическое описание

Каждый прыжок кузнечика можно представить как $+1$ (прыжок вперёд) или $-1$ (прыжок назад). После $12$ прыжков суммарное смещение кузнечика от точки $0$ определяется как:

где:

• $a$ — количество прыжков вперёд,
• $b$ — количество прыжков назад.

Так как общее количество прыжков равно $12$, то справедливо:

Следовательно, общее смещение $S$ можно записать через $a$ как:

Шаг 2. Возможные значения $S$

$a$ — целое число, количество прыжков вперёд, которое может принимать значения от $0$ до $12$ (включительно). Для каждого значения $a$ смещение $S$ вычисляется как:

Подставляя $a = 0, 1, 2, \ldots, 12$, получаем возможные значения $S$:

Шаг 3. Количество различных точек

Мы видим, что $S$ изменяется с шагом $2$ от $-12$ до $+12$. Это равномерная арифметическая прогрессия:

Подставляя значения:

Ответ

Кузнечик может оказаться в 13 различных точках на координатной прямой, сделав ровно $12$ прыжков, начиная из точки $0$. Эти точки: $-12, -10, -8, \ldots, 0, \ldots, +8, +10, +12$.