Кузнечик может прыгнуть вдоль координатного луча либо на 4 единицы вправо, либо на 3 единицы влево. Он начинает прыгать из начала координат, и хочет
оказаться в точке с координатой 45. Какое наименьшее число прыжков ему понадобится сделать?

Для того чтобы выяснить наименьшее количество прыжков, которое потребуется кузнечику, нужно рассмотреть задачу как задачу нахождения минимального количества операций для достижения определённого числа, используя два возможных шага: прыжок вправо на 4 единицы и прыжок влево на 3 единицы.

Разбор задачи

Кузнечик начинает с координаты 0 и хочет попасть в точку с координатой 45. Каждый прыжок вправо увеличивает координату на 4, а каждый прыжок влево уменьшает её на 3.

Таким образом, нам нужно найти такую комбинацию прыжков вправо и влево, при которой итоговая координата будет равна 45.

Преобразуем задачу в уравнение

Пусть $x$ — это количество прыжков вправо (на 4 единицы), а $y$ — количество прыжков влево (на 3 единицы). Тогда итоговая координата будет:

Нам нужно найти такие целые числа $x$ и $y$, которые удовлетворяют этому уравнению, и минимизировать суммарное количество прыжков $x + y$.

Решение уравнения

Попробуем решить это уравнение вручную, перебирая возможные значения для $x$.

1. Начнём с того, что выразим $y$ через $x$:

Для того чтобы $y$ было целым числом, $4x - 45$ должно делиться на 3. Посмотрим на это выражение:

Преобразуем это:

Поскольку $4 \equiv 1 \pmod{3}$, получаем:

То есть $x$ должно быть кратно 3. Теперь попробуем несколько значений для $x$, начиная с минимального, которое делится на 3, и вычислим соответствующие значения $y$.

Пробуем значения $x$

1. $x = 3$:

Значит, $x = 3$ и $y = -11$ — это решение.

2. Количество прыжков равно $x + |y| = 3 + 11 = 14$.

Ответ

Таким образом, кузнечику потребуется минимум 14 прыжков, чтобы попасть в точку с координатой 45: 3 прыжка вправо и 11 прыжков влево.