Докажите, что при преобразовании подобия сохраняются углы между лучами.

Пусть дано преобразование подобия $f$, которое переводит фигуры так, что все расстояния умножаются на одно и то же число $k>0$. Возьмём два луча $OA$ и $OB$, образующих угол $\angle AOB$. Нужно доказать, что после преобразования их образы $O'A'$ и $O'B'$ образуют такой же угол.

Рассмотрим векторный подход.

Обозначим:

При преобразовании подобия любая точка переходит по правилу вида:

где:

• $k>0$ — коэффициент масштабирования,

• $Q$ — ортогональное преобразование (поворот или отражение),

• $\mathbf{t}$ — параллельный перенос.

Рассмотрим образы векторов:

Угол между лучами определяется через скалярное произведение:

Посмотрим, что происходит после преобразования:

Скалярное произведение:

Так как $Q$ — ортогональное преобразование, оно сохраняет скалярное произведение:

Значит:

Длины векторов:

Теперь косинус угла между образами:

То есть:

Следовательно, углы равны:

Таким образом, при преобразовании подобия углы между лучами сохраняются.