Произведение возрастов Таниных братьев равно 1664. Младший из братьев вдвое моложе старшего. Сколько братьев у Тани?

Для решения задачи обозначим возраст младшего брата за $x$. Поскольку младший брат вдвое моложе старшего, возраст старшего можно записать как $2x$. Если у Тани есть ещё братья, обозначим их возраста как $y_1, y_2, \dots, y_n$. Произведение возрастов всех братьев равно 1664:

Упростим выражение:

Шаг 1: Разложение числа 1664 на множители

Разложим число 1664 на простые множители:

Таким образом, $1664 = 64 \cdot 13$.

Шаг 2: Подбор значений для $x$ и $2x$

Так как $x$ и $2x$ — возраста братьев, они должны быть целыми числами. Следовательно, $2x^2$ делит 1664. Начнём подбор $x$:

1. $x = 8$, тогда $2x = 16$. Проверим произведение: $$2x^2 = 2 \cdot 8^2 = 2 \cdot 64 = 128.$$ Оставшееся произведение: $$1664 \div 128 = 13.$$

Таким образом, остаётся ещё один брат с возрастом 13 лет.

Шаг 3: Проверка решения

Если братья имеют возраста $8, 16$ и $13$, их произведение равно:

Все условия задачи выполнены.

Ответ:

У Тани три брата. Их возраста — 8, 16 и 13 лет.