6666...66 (в этом числе 1998 цифр «6»). Будет ли это число делиться на 18?

Да, будет.

Число делится на 18 тогда и только тогда, когда оно делится на 2 и на 9.

1. На 2 число делится, потому что его последняя цифра — 6, то есть число чётное.

2. На 9 число делится, если сумма его цифр делится на 9. Здесь цифра 6 повторяется 1998 раз, поэтому сумма цифр равна:

Проверим:

то есть сумма цифр делится на 9.

Следовательно, исходное число делится и на 2, и на 9, значит, оно делится на 18.