Докажите, что радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник (угол C = 90°) со сторонами a, b, c равен r = (a + b - c) / 2.

Пусть $a$ и $b$ — катеты, а $c$ — гипотенуза прямоугольного треугольника $ABC$, где $\angle C=90^\circ$.

Площадь треугольника можно выразить двумя способами:

так как $a$ и $b$ — катеты, и

где $r$ — радиус вписанной окружности, а

— полупериметр.

Следовательно,

Умножая на $2$, получаем:

то есть

Остаётся доказать, что это равно $\dfrac{a+b-c}{2}$. Рассмотрим произведение:

По теореме Пифагора

Поэтому

Значит,

Делим обе части на $2(a+b+c)$:

Но ранее было получено, что

Следовательно,