Найдите область определения корня из квадратного трёхчлена.

Область определения выражения

находят из условия, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

То есть нужно решить квадратное неравенство.

Сначала вычисляют дискриминант:

Дальше возможны случаи.

1. $D>0$. Есть два корня:

где $x_1$.

• Если $a>0$, парабола направлена вверх, поэтому

при

• Если $a<0$, парабола направлена вниз, поэтому

2. $D=0$. Есть один корень:

• При $a>0$ квадратный трёхчлен неотрицателен для всех $x$, поэтому область определения:

• При $a<0$ подкоренное выражение равно нулю только в точке $x_0$, поэтому:

3. $D<0$. Корней нет.

• Если $a>0$, трёхчлен всегда положителен, значит область определения:

• Если $a<0$, трёхчлен всегда отрицателен, поэтому корень не имеет действительных значений. Область определения — пустое множество:

Например, для выражения

решаем неравенство:

Разложим на множители:

Коэффициент при $x^2$ положительный, поэтому произведение неотрицательно вне промежутка между корнями:

Это и есть область определения данного корня.