Тригонометрическое уравнение вида sin x = a

Уравнение вида

называется простейшим тригонометрическим уравнением. Его решение зависит от значения числа $a$, потому что синус любого действительного угла всегда лежит в пределах:

Следовательно, сначала нужно проверить, принадлежит ли $a$ отрезку $[-1;1]$.

1. Если $|a|>1$

Например:

Решений нет, так как синус не может быть больше $1$ или меньше $-1$.

2. Если $-1\leq a\leq 1$

Обозначим

Значение $\arcsin a$ — это угол из промежутка

синус которого равен $a$.

У синуса один и тот же знак в I и II четвертях, если $a>0$, и в III и IV четвертях, если $a<0$. Поэтому за один полный период $2\pi$ обычно существуют два решения:

и

где

Итак, общий ответ:

Эту же формулу можно записать компактнее:

Особые случаи

$\sin x=0$

Например: $0,\pi,2\pi,-\pi$.

$\sin x=1$

$\sin x=-1$

Можно также записать:

Пример 1

Решить:

Тогда:

или

Ответ:

Пример 2

Решить:

Тогда: