Ребро DB тетраэдра DABC перпендикулярно плоскости ABC, угол ACB = 90°, AC = BC = 7 см, AD = 7√5 см. Найдите двугранный угол, грани которого содержат треугольники ABC и ACD.

Рассмотрим задачу по шагам.

1. Выберем систему координат

Так как $AC = BC = 7$ и $\angle ACB = 90^\circ$, удобно расположить треугольник $ABC$ в плоскости $z=0$:

• $C(0,0,0)$

• $A(7,0,0)$

• $B(0,7,0)$

Тогда плоскость $ABC$ — это плоскость $z=0$.

2. Положение точки $D$

По условию ребро $DB$ перпендикулярно плоскости $ABC$.
Значит, точка $D$ находится на перпендикуляре к плоскости через точку $B$:

3. Найдём высоту $h$ из условия $AD = 7\sqrt{5}$

По условию:

Следовательно:

4. Искомый двугранный угол

Нужно найти двугранный угол между гранями:

• $ABC$

• $ACD$

Общее ребро — $AC$. Значит, ищем угол между плоскостями вдоль прямой $AC$.

5. Векторы нормалей

Плоскость $ABC$

Она лежит в $z=0$, значит нормаль:

Плоскость $ACD$

Берём векторы:

Нормаль:

Вычисление даёт:

Можно упростить:

6. Угол между плоскостями

Так как обе нормали перпендикулярны ребру $AC$, то угол между плоскостями равен углу между нормалями: