У Леонида есть белый клетчатый прямоугольник. Сначала он покрасил в серый цвет все столбцы через один, начиная с самого левого, а затем все строки через одну, начиная с самой верхней. Все клетки, примыкающие к границе прямоугольника, оказались закрашены. Сколько закрашенных клеток могло получиться в прямоугольнике, если белых клеток осталось 74? Укажите все возможные варианты.

Пусть в прямоугольнике было $m$ строк и $n$ столбцов.

После первой покраски серыми становятся все столбцы с нечётными номерами. После второй покраски — все строки с нечётными номерами. Поэтому белыми останутся только те клетки, у которых одновременно:

• номер строки чётный;

• номер столбца чётный.

Количество белых клеток равно произведению количества чётных строк и чётных столбцов:

Теперь учтём условие про границу прямоугольника. Все клетки, примыкающие к границе, закрашены.

Если число строк $m$ было бы чётным, то последняя строка имела бы чётный номер. В этой строке клетки в чётных столбцах не закрасились бы (ни строка, ни столбец не были бы покрашены), а значит, на нижней границе остались бы белые клетки. Это невозможно. Следовательно, $m$ нечётно.

Аналогично, если $n$ было бы чётным, то в последнем столбце остались бы белые клетки на границе. Значит, $n$ тоже нечётно.

Пусть:

Тогда белых клеток:

Разложим число 74 на множители:

Получаем возможные размеры прямоугольника:

а также прямоугольники с поменянными местами сторонами:

Число всех клеток равно $mn$, а закрашенных клеток на 74 меньше:

1. Для размеров $3\times149$:

2. Для размеров $5\times75$:

При перестановке сторон количество клеток не меняется.

Следовательно, все возможные варианты числа закрашенных клеток: