На поле закрашены угловые клетки прямоугольника. Определите положение клетки, расположенной в четвертом углу.1) Какова площадь этого прямоугольника?2) Как нужно расположить нижние угловые клетки, чтобы получился прямоугольник площадью 42 клетки.

Решение задачи:

Шаг 1. Анализ условий задачи

У нас есть прямоугольник, у которого закрашены три угловые клетки. Нужно определить координаты четвертой угловой клетки и найти:

1. Площадь этого прямоугольника.
2. Как можно расположить нижние угловые клетки, чтобы площадь прямоугольника стала 42 клетки.

Шаг 2. Поиск четвертого угла

Допустим, три закрашенные клетки имеют координаты $(x_1, y_1)$, $(x_2, y_2)$, $(x_3, y_3)$.

Прямоугольник состоит из четырёх угловых клеток, поэтому его стороны параллельны осям координат. Таким образом, четвертая клетка будет иметь координаты $(x_4, y_4)$, которые вычисляются следующим образом:

• Координата $x_4$ определяется как значение $x$, которого нет в тройке $(x_1, x_2, x_3)$. Это делается по правилу:

  $$x_4 = x_1 \oplus x_2 \oplus x_3,$$

  где $\oplus$ — операция исключающего «или» (XOR) для значений, так как каждая координата $x$ или $y$ повторяется дважды в прямоугольнике.

• Аналогично, координата $y_4$ определяется как:

  $$y_4 = y_1 \oplus y_2 \oplus y_3.$$

После нахождения $x_4$ и $y_4$ мы знаем положение всех четырёх углов.

Шаг 3. Вычисление площади прямоугольника

Площадь прямоугольника можно вычислить как произведение его сторон. Длина сторон вычисляется по модулю разницы между соответствующими координатами:

где $x_{\max}$ и $x_{\min}$ — максимальное и минимальное значения среди $(x_1, x_2, x_3, x_4)$, а $y_{\max}$ и $y_{\min}$ — максимальное и минимальное значения среди $(y_1, y_2, y_3, y_4)$.

Площадь прямоугольника равна:

Шаг 4. Равенство площади 42 клеткам

Чтобы площадь прямоугольника стала равна 42 клеткам, необходимо подобрать такие длины сторон, чтобы их произведение давало 42. Возможные пары сторон:

Далее требуется корректно расположить клетки, чтобы соответствующие длины сторон стали возможными. Например:

1. Нижние угловые клетки должны быть расположены на расстоянии, равном одной из длин сторон.
2. Распределение координат нижних клеток зависит от выбора пары сторон. Например, если стороны $6 \times 7$, то нижние углы можно расположить на расстоянии 6 клеток по одной оси и 7 клеток по другой.

Пример:

Если изначально углы заданы как $(1, 1)$, $(1, 6)$, $(4, 1)$, то четвертый угол:

Площадь:

Для площади 42:

• Можно расположить нижние клетки так: $(1, 1)$ и $(7, 1)$, чтобы сторона $7$ по $x$, а другая сторона $6$ по $y$.

Таким образом, задача сводится к выбору подходящих координат для достижения заданной площади.