Первым четырехугольником является прямоугольник со сторонами 5 см и 8 см. Второй четырехугольник

Ответы на вопрос

Отвечает Жук Денис.

Для решения задачи рассмотрим последовательное образование четырехугольников и изменение их периметров.

Исходные данные

Первый четырехугольник — прямоугольник со сторонами $a = 8$ см и $b = 5$ см. Его периметр равен:

P_1 = 2(a + b) = 2(8 + 5) = 26 \, \text{см}.

Построение второго четырехугольника

Второй четырехугольник получается соединением середин сторон первого. Он является ромбом, так как диагонали первого прямоугольника делятся пополам и являются его осями симметрии.

Длины диагоналей второго четырехугольника равны:

d_1 = a = 8 \, \text{см}, \quad d_2 = b = 5 \, \text{см}.

Периметр ромба определяется через его стороны. Длина стороны ромба $s_2$ находится по формуле:

s_2 = \sqrt{\left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2} = \sqrt{\left(\frac{8}{2}\right)^2 + \left(\frac{5}{2}\right)^2} = \sqrt{4^2 + 2.5^2} = \sqrt{16 + 6.25} = \sqrt{22.25}.

Периметр второго четырехугольника равен:

P_2 = 4s_2 = 4\sqrt{22.25}.

Построение следующих четырехугольников

Третий четырехугольник образуется аналогичным образом. Его стороны также вычисляются через диагонали, которые уменьшаются в два раза. Если диагонали второго четырехугольника равны $d_1^{(2)} = 4$ и $d_2^{(2)} = 2.5$ , то стороны третьего четырехугольника составляют:

s_3 = \sqrt{\left(\frac{d_1^{(2)}}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2^{(2)}}{2}\right)^2}.

В общем виде, если $s_n$ — сторона $n$ -го четырехугольника, то можно записать рекуррентное соотношение:

s_{n+1} = \frac{s_n}{\sqrt{2}}.

Формула для периметра

Периметр $n$ -го четырехугольника равен:

P_n = 4s_n.

Так как $s_2 = \sqrt{22.25}$ , для $n = 3, 4, \dots$ получаем:

s_n = \frac{\sqrt{22.25}}{(\sqrt{2})^{n-2}}.