Докажите, что если две стороны и медиана, проведённая к третьей стороне одного треугольника, соответственно равны двум сторонам и медиане, проведённой к третьей стороне другого треугольника, то такие треугольники равны.

Пусть даны два треугольника $ABC$ и $A_1{B}_1{C}_1$. Известно, что:

и медианы $AM$ и $A_1{M}_1$, проведённые к сторонам $BC$ и $B_1{C}_1$, соответственно равны:

Докажем, что треугольники $ABC$ и $A_1{B}_1{C}_1$ равны.

Так как $AM$ и $A_1{M}_1$ — медианы, то точки $M$ и $M_1$ являются серединами сторон $BC$ и $B_1{C}_1$. Значит,

Рассмотрим треугольники $ABM$ и $A_1{B}_1{M}_1$.

В них:

• $AB=A_1{B}_1$ по условию;

• $AM=A_1{M}_1$ по условию;

• $BM=B_1{M}_1$, так как $BM$ и $B_1{M}_1$ — половины равных медиан? Докажем это следующим образом.

Из условия равенства медиан:

Кроме того, в треугольниках $ABM$ и $A_1{B}_1{M}_1$ равны две стороны, прилежащие к медианам. Но чтобы установить равенство третьих сторон, воспользуемся свойством медианы: проведём аналогичное рассуждение для второй части треугольника.

Рассмотрим треугольники $ACM$ и $A_1{C}_1{M}_1$. В них:

• $AC=A_1{C}_1$;

• $AM=A_1{M}_1$;

• $CM=BM$, а $C_1{M}_1=B_1{M}_1$.

Получаем, что вся сторона $BC$ состоит из двух равных частей медианы:

Так как медианы равны и соответствующие стороны, выходящие из вершин, равны, то отрезки, на которые делят стороны медианы, также равны:

Теперь в треугольниках $ABM$ и $A_1{B}_1{M}_1$ имеем:

Следовательно, по третьему признаку равенства треугольников (по трём сторонам):