Результатом деления натурального трёхзначного числа на сумму его цифр является целое число. Может ли такое отношение быть равно двенадцати?

Пусть трёхзначное натуральное число равно $N$, а сумма его цифр равна $S$. По условию нужно проверить, возможно ли

то есть

Сумма цифр трёхзначного числа не превышает $27$, поэтому

Значит, достаточно рассматривать трёхзначные числа от 100 до 324.

Есть простой способ доказать невозможность. Любое натуральное число и сумма его цифр дают одинаковый остаток при делении на 9. Поэтому

Но $N=12S$, следовательно,

Отсюда

Так как $11\equiv 2(\mathrm{mod}9)$, получаем

Следовательно, $S$ должно делиться на 9. Для трёхзначного числа возможны только

Проверим соответствующие числа:

и действительно,

Ответ: да, может. Например, число $108$.