Найдите числа, равные удвоенной сумме своих цифр.

Найдём все натуральные числа, которые равны удвоенной сумме своих цифр.

Решение:

Пусть $n$ — искомое число, а $S(n)$ — сумма его цифр. По условию:

Рассмотрим несколько случаев.

1. Однозначные числа.

Пусть число состоит из одной цифры $a$. Тогда сумма его цифр равна $a$.

По условию:

откуда

Таким образом, из однозначных чисел подходит только $0$.

2. Двузначные числа.

Пусть искомое число имеет вид $10a+b$, где $a$ — цифра десятков, $b$ — цифра единиц.

Тогда сумма его цифр равна $a+b$.

По условию:

Раскроем скобки:

Перенесём слагаемые:

Поскольку $a$ — цифра десятков, $1\leq a\leq9$, а $b$ — цифра единиц, $0\leq b\leq9$.

Равенство $b=8a$ возможно только при:

Следовательно, искомое число — 18.

Проверим:

Условие выполняется.

3. Трёхзначные и более длинные числа.

Докажем, что такие числа не подходят.

Пусть число содержит $k$ цифр, где $k\geq3$.

Наибольшая возможная сумма его цифр равна $9k$. Поэтому удвоенная сумма цифр не превышает $18k$:

При этом любое $k$-значное число не меньше $10^{k-1}$:

Для всех $k\geq3$ выполняется неравенство:

Следовательно,

Значит, число с тремя и более цифрами всегда больше удвоенной суммы своих цифр и не может удовлетворять условию задачи.

Ответ: единственное натуральное положительное число, равное удвоенной сумме своих цифр, — $\boxed{18}$.

Если учитывать также число ноль, то получаем два числа: $\boxed{0\text{ и }18}$.