Образующая конуса равна 30 дм и образует с плоскостью основания угол 30 градусов. Найдите площадь полной поверхности и объём конуса.

Дано:

• Образующая конуса $l = 30$ дм.

• Угол между образующей и плоскостью основания $\alpha = 30^\circ$.

Найти:

1. Площадь полной поверхности конуса $S_{\text{полн}}$.

2. Объём конуса $V$.

Решение

1. Найдём высоту конуса.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой конуса, радиусом основания и образующей.

В этом треугольнике:

• Образующая $l = 30$ дм — гипотенуза.

• Высота $h$ — катет, противолежащий углу $30^\circ$.

• Радиус $r$ — катет, прилежащий к углу $30^\circ$.

Используем определение синуса:

Отсюда:

Так как $\sin30^\circ=\frac12$, получаем:

2. Найдём радиус основания конуса.

Используем определение косинуса:

Отсюда:

Поскольку $\cos30^\circ=\frac{\sqrt3}{2}$, получаем:

3. Найдём площадь полной поверхности конуса.

Площадь полной поверхности конуса равна сумме площади боковой поверхности и площади основания:

Площадь боковой поверхности:

Подставим значения:

Площадь основания:

Теперь найдём полную площадь поверхности: