Два шара с радиусами 6 см и 8 см пересекаются так, что расстояние между их центрами равно 10 см. Определите длину окружности, полученной при таком пересечении. 1) 10,4π см 2) 9,6π см 3) 9,8π см 4) 8,6π см 5) 9,2π см

Правильный ответ: 2) 9,6π см.

Решение

Дано:

• Радиус первого шара: $R_1=6$ см.

• Радиус второго шара: $R_2=8$ см.

• Расстояние между центрами шаров: $d=10$ см.

Найти: длину окружности, образованной при пересечении двух шаров.

Шаг 1. Рассмотрим пересечение шаров

При пересечении двух сфер образуется окружность. Плоскость этой окружности перпендикулярна прямой, соединяющей центры сфер.

Обозначим:

• $O_1$ и $O_2$ — центры шаров;

• $O$ — центр окружности пересечения;

• $r$ — радиус окружности пересечения;

• $x$ — расстояние от центра первого шара $O_1$ до точки $O$.

Тогда расстояние от центра второго шара до точки $O$ равно $10-x$.

Шаг 2. Применим теорему Пифагора

Для первого шара:

Для второго шара:

Приравняем полученные выражения:

Раскроем скобки:

Сократим $-x^2$:

Шаг 3. Найдём радиус окружности пересечения

Подставим $x=3{,}6$ в выражение:

Шаг 4. Вычислим длину окружности

Формула длины окружности:

Подставим найденный радиус:

Ответ

Вариант 2) $9{,}6\pi$ см.