№ 1. Найдите площадь боковой поверхности и объем прямой призмы, основанием которой является прямоугольный треугольник с катетами 5 см и 12 см, а боковое ребро равно 9 см.
№ 2. Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 12 см, сторона основания равна 18 см. Найдите апофему пирамиды.
№ 3. Осевое сечение цилиндра – квадрат, диагональ которого равна 12√2 см. Найдите площадь поверхности и объем цилиндра.
№ 4. Осевое сечение конуса – правильный треугольник. Найдите площадь этого сечения, если площадь боковой поверхности конуса равна 72π см².

№ 1. Площадь боковой поверхности и объём прямой призмы

Дано:

Прямая призма, в основании которой лежит прямоугольный треугольник.

• Катеты основания: $a=5$ см, $b=12$ см.

• Боковое ребро (высота призмы): $h=9$ см.

Найти: $S_{\text{бок}}$ и $V$.

Решение

1. Найдём гипотенузу основания.

По теореме Пифагора:

2. Найдём периметр основания.

3. Найдём площадь боковой поверхности призмы.

Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту:

4. Найдём площадь основания.

Основание — прямоугольный треугольник, поэтому:

5. Найдём объём призмы.

Ответ: $\boxed{S_{\text{бок}}=270\text{ см}^2,\quad V=270\text{ см}^3}$.

№ 2. Апофема правильной четырёхугольной пирамиды

Дано:

• Высота пирамиды: $h=12$ см.

• Сторона основания: $a=18$ см.

Найти: апофему $l$.

Решение

Правильная четырёхугольная пирамида имеет в основании квадрат. Апофема — это высота боковой грани, проведённая от вершины пирамиды к середине стороны основания.

Высота пирамиды, апофема и половина стороны основания образуют прямоугольный треугольник.

1. Найдём половину стороны основания.

2. Найдём апофему по теореме Пифагора.