Периметр основания прямоугольного параллелепипеда 8м, а высота 3м. какой длины должны быть стороны основания, чтобы объем параллелепипеда был наибольшим.
ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА ОЧЕНЬ НАДО

Чтобы найти, какие должны быть размеры сторон основания прямоугольного параллелепипеда, чтобы его объем был наибольшим, нужно решить задачу с использованием метода оптимизации.

Шаг 1: Разбираемся с условиями задачи.

Дано:

• Периметр основания прямоугольного параллелепипеда = 8 м.
• Высота параллелепипеда = 3 м.

Необходимо найти длины сторон основания, чтобы объем был максимальным.

Объем прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле:

где:

• $a$ и $b$ — длины сторон основания,
• $h$ — высота параллелепипеда.

Так как высота $h = 3$ м, то объем можно выразить как:

Чтобы максимизировать объем, нужно максимизировать произведение $a \times b$, при этом учитывая условие на периметр основания.

Шаг 2: Периметр основания.

Периметр основания прямоугольного параллелепипеда равен 8 м, а периметр прямоугольника с длинами сторон $a$ и $b$ выражается как:

Поскольку периметр основания $P = 8$ м, получаем уравнение:

Разделим обе части на 2:

Теперь у нас есть линейное уравнение, которое связывает длины сторон основания $a$ и $b$.

Шаг 3: Выражаем одну сторону через другую.

Из уравнения $a + b = 4$ можем выразить одну сторону через другую. Пусть, например, $b = 4 - a$.

Шаг 4: Подставляем в формулу объема.

Теперь подставим $b = 4 - a$ в формулу для объема:

Раскроем скобки:

Шаг 5: Находим максимум.

Чтобы найти максимальный объем, нужно найти производную функции объема по $a$ и приравнять её к нулю. Для этого вычислим производную функции $V(a)$:

Приравняем производную к нулю:

отсюда:

Шаг 6: Проверяем вторую производную.

Чтобы убедиться, что это максимум, вычислим вторую производную функции объема:

Так как вторая производная отрицательная, это подтверждает, что $a = 2$ соответствует точке максимума.

Шаг 7: Находим $b$.

Теперь, зная, что $a = 2$, подставим это значение в уравнение $a + b = 4$:

Шаг 8: Ответ.

Таким образом, чтобы объем прямоугольного параллелепипеда был максимальным, длины сторон основания должны быть равными, то есть $a = 2$ м и $b = 2$ м.