Найдите все значения a, при каждом из которых неравенство x^2-4x+a ≤ 10 выполняется для всех x ∈ [a, a+5].

Нужно, чтобы неравенство \(x^2-4x+a \le 10\) выполнялось при всех \(x\) из отрезка \([a; a+5]\).

Перенесём всё в левую часть:

\[x^2-4x+a-10 \le 0\]

Функция \(f(x)=x^2-4x+a-10\) — парабола, ветви направлены вверх. На отрезке её наибольшее значение будет на одном из концов отрезка. Значит, проверяем \(x=a\) и \(x=a+5\).

1. При \(x=a\):

\[a^2-4a+a-10 \le 0\]

\[a^2-3a-10 \le 0\]

\[(a-5)(a+2) \le 0\]

Отсюда:

\[-2 \le a \le 5\]

2. При \(x=a+5\):

\[(a+5)^2-4(a+5)+a-10 \le 0\]

\[a^2+7a-5 \le 0\]

Найдём корни:

\[a=\frac{-7\pm\sqrt{69}}{2}\]

Тогда:

\[\frac{-7-\sqrt{69}}{2} \le a \le \frac{-7+\sqrt{69}}{2}\]

Пересекаем два промежутка:

\[[-2;5] \cap \left[\frac{-7-\sqrt{69}}{2};\frac{-7+\sqrt{69}}{2}\right]\]

Ответ:

\[a \in \left[-2;\frac{-7+\sqrt{69}}{2}\right]\]

0 0 Пожаловаться