Оля читала повесть по 9 страниц в день, хотя, возможно, в последний день ей осталось
прочесть меньше девяти страниц. Катя начала читать эту же повесть одновременно с Олей,
но Катя читала по 10 страниц каждый день, хотя в последний день могло остаться меньше.
Оля и Катя закончили читать повесть в один и тот же день, потратив на чтение не меньше
девяти дней. Сколько страниц в повести?

Чтобы решить задачу, давайте обозначим некоторые переменные и проанализируем условия.

1. Пусть $N$ — общее количество страниц в повести.

2. Оля читала по 9 страниц в день. Если она читала не менее 9 дней, то за 9 дней она прочитала не менее $9 \times 9 = 81$ страниц. Однако, поскольку в последний день ей могло остаться меньше 9 страниц, мы обозначим количество прочитанных страниц за $k$ дней как:

   • $9k - r$, где $r$ — количество страниц, оставшихся в последний день (где $0 \leq r < 9$).

3. Катя читала по 10 страниц в день. Также, если она читала не менее 9 дней, то за 9 дней она прочитала не менее $10 \times 9 = 90$ страниц. Аналогично, обозначим количество прочитанных страниц за $k$ дней как:

   • $10k - s$, где $s$ — количество страниц, оставшихся в последний день (где $0 \leq s < 10$).

4. Поскольку Оля и Катя закончили читать повесть в один и тот же день, можно записать следующее уравнение:

   $$9k - r = 10k - s$$

   Упрощая это уравнение, мы получаем:

   $$s - r = k$$

5. Поскольку мы знаем, что $r < 9$ и $s < 10$, можно сделать вывод о том, что количество страниц, прочитанных каждой из них, должно совпадать в день окончания чтения.

Теперь попробуем найти $N$. Из уравнения видно, что:

Что дает нам возможность выразить общее количество страниц как:

Это значит, что $N = 9k + k - s$ или $N = 10k - s$.

Для поиска конкретного значения $N$, давайте подберем различные значения $k$ начиная с 9 (минимум по условию задачи):

• Если $k = 9$:

  $$N = 9 \times 9 - r = 81 - r$$

  Для $r$ от 0 до 8, получаем 81, 80, ..., 73. Однако, при этом $s$ должно быть меньше 10, что невозможно для $k = 9$.

• Если $k = 10$:

  $$N = 9 \times 10 - r = 90 - r$$

  Для $r$ от 0 до 8, получаем 90, 89, ..., 82. Проверим для каждого значения $s$:

  • $s$ от 0 до 9, проверяем, подходит ли $s - r = k$. Для $s = 0$, $r = 9$ это не подходит, но для $r = 1$ и $s = 1$ да.

Таким образом, если $k = 10$, то минимальное значение, которое удовлетворяет всем условиям, это:

• $N = 90$ страниц.

Таким образом, общее количество страниц в повести равно 90.