Почему существует треугольник с медианами 3, 7, 8? Чему равна его площадь?

Треугольник существует, потому что его медианы тоже образуют треугольник:

\[3+7>8,\qquad 3+8>7,\qquad 7+8>3.\]

Найдём площадь треугольника со сторонами \(3\), \(7\) и \(8\). Полупериметр:

\[p=\frac{3+7+8}{2}=9.\]

По формуле Герона:

\[S_1=\sqrt{9\cdot(9-3)\cdot(9-7)\cdot(9-8)}=\sqrt{108}=6\sqrt{3}.\]

Площадь треугольника, составленного из медиан, равна \(\frac{3}{4}\) площади исходного треугольника. Поэтому:

\[S=\frac{4}{3}\cdot6\sqrt{3}=8\sqrt{3}.\]

Ответ: \(8\sqrt{3}\).

0 0 Пожаловаться