Докажите, что сумма кубов двух последовательных натуральных чисел, ни одно из которых не кратно 3, делится нацело на 9.

Пусть первое из чисел равно \(3k+1\), тогда следующее число равно \(3k+2\). Именно такие два последовательных числа не делятся на \(3\).

Найдём сумму их кубов:

\[ (3k+1)^3+(3k+2)^3=54k^3+81k^2+45k+9=9(6k^3+9k^2+5k+1). \]

Сумма представлена как произведение \(9\) и целого числа, значит, она делится нацело на \(9\).

0 0 Пожаловаться