Интеграл cos³x / sin⁵x

Вычислим интеграл:

\[\int \frac{\cos^3 x}{\sin^5 x}\,dx\]

Представим \(\cos^3 x=\cos x\cdot\cos^2 x\), а \(\cos^2 x=1-\sin^2 x\):

\[\int \frac{\cos x(1-\sin^2 x)}{\sin^5 x}\,dx\]

Сделаем замену \(u=\sin x\), тогда \(du=\cos x\,dx\):

\[\int \left(\frac{1}{u^5}-\frac{1}{u^3}\right)du= -\frac{1}{4u^4}+\frac{1}{2u^2}+C\]

Ответ:

\[\frac{1}{2\sin^2 x}-\frac{1}{4\sin^4 x}+C\]

0 0 Пожаловаться