Из десяти три подписали договор о дружбе ровно с шестью другими странами, а каждая из оставшихся семи ровно с двумя. Сколько всего было подписано договоров?

Чтобы решить задачу, давайте разобьем её на части. У нас есть 10 стран. Три из них подписали договоры о дружбе с шестью другими странами, а оставшиеся семь подписали договоры только с двумя другими странами.

1. Три страны подписали договоры с шестью другими, значит, каждая из этих стран подписала 6 договоров. Это даёт $3 \times 6 = 18$ договоров, но так как каждый договор подписывается двумя странами, это приведет к удвоению, и фактически мы получаем 9 уникальных договоров от этих трёх стран.

2. Теперь рассмотрим оставшиеся семь стран, каждая из которых подписала договоры с двумя другими странами. Это даст $7 \times 2 = 14$ договоров, которые также считаются удвоенными, и, следовательно, всего 7 уникальных договоров от этих стран.

3. В итоге, общее количество уникальных договоров будет $9 + 7 = 16$.

Ответ: всего было подписано 16 договоров.