Среди 25 экзаменационных билетов 5 "хороших". Три студента по очереди берут по одному билету (первый студент берет каждый из билетов с одинаковой вероятностью, второй - равновероятно любой из оставшихся 24, третий - равновероятно любой из оставшихся 23). Найдите вероятность того, что третий студент взял "хороший" билет. Запишите ответ в виде обыкновенной несократимой дроби

Давайте решать задачу пошагово.

Исходные данные:

• Всего 25 экзаменационных билетов, из которых 5 "хороших", а остальные 20 — "плохие".
• Три студента берут билеты по очереди, причем каждый выбирает случайным образом из оставшихся билетов.

Нам нужно найти вероятность того, что третий студент (после того как два других уже выбрали свои билеты) возьмёт "хороший" билет.

Подход:

Для нахождения вероятности того, что третий студент возьмёт хороший билет, можно воспользоваться условной вероятностью. Рассмотрим, сколько "хороших" билетов останется после того, как два студента выберут свои билеты.

1. Общее количество билетов: 25 (из которых 5 хороших и 20 плохих).
2. Что происходит на каждом этапе выбора:

   • Первый студент выбирает один билет случайным образом из 25. Из всех билетов 5 — хорошие, а 20 — плохие. Вероятность того, что он выберет хороший билет, составляет $\frac{5}{25} = \frac{1}{5}$. Вероятность того, что он выберет плохой билет, составляет $\frac{20}{25} = \frac{4}{5}$.

   • Второй студент выбирает один билет из оставшихся 24. Если первый студент взял хороший билет, то во второй раз остаётся 4 хороших билета из 24, и вероятность того, что второй студент также возьмёт хороший билет, составит $\frac{4}{24} = \frac{1}{6}$. Если первый студент взял плохой билет, то остаётся 5 хороших билетов из 24, и вероятность того, что второй студент возьмёт хороший билет, составит $\frac{5}{24}$.

   • Третий студент выбирает один билет из оставшихся 23. В зависимости от того, сколько хороших билетов осталось, вероятность того, что третий студент возьмёт хороший билет, будет зависеть от событий, произошедших ранее.

Рассмотрим все возможные сценарии:

1. Сценарий 1: Первый студент взял хороший билет (вероятность этого события $\frac{1}{5}$):

   • После первого выбора остаётся 4 хороших билета и 20 плохих.
   • Второй студент может взять хороший билет с вероятностью $\frac{4}{24} = \frac{1}{6}$, и если он возьмёт хороший билет, то для третьего студента остаётся 3 хороших билета из 23. Тогда вероятность того, что третий студент возьмёт хороший билет, будет $\frac{3}{23}$.
   • Если второй студент возьмёт плохой билет (с вероятностью $\frac{20}{24} = \frac{5}{6}$), то для третьего студента остаётся 4 хороших билета из 23, и вероятность того, что третий студент возьмёт хороший билет, составит $\frac{4}{23}$.

   Таким образом, для первого студента, который выбрал хороший билет:

   $$\text{Общая вероятность для третьего студента} = \frac{1}{6} \cdot \frac{3}{23} + \frac{5}{6} \cdot \frac{4}{23}.$$

   Упростим:

   $$\frac{1}{6} \cdot \frac{3}{23} + \frac{5}{6} \cdot \frac{4}{23} = \frac{3}{138} + \frac{20}{138} = \frac{23}{138} = \frac{1}{6}.$$

2. Сценарий 2: Первый студент взял плохой билет (вероятность этого события $\frac{4}{5}$):

   • После первого выбора остаётся 5 хороших билетов и 19 плохих.
   • Второй студент может взять хороший билет с вероятностью $\frac{5}{24}$, и если он возьмёт хороший билет, то для третьего студента остаётся 4 хороших билета из 23. Тогда вероятность того, что третий студент возьмёт хороший билет, будет $\frac{4}{23}$.
   • Если второй студент возьмёт плохой билет (с вероятностью $\frac{19}{24}$), то для третьего студента остаётся 5 хороших билетов из 23, и вероятность того, что третий студент возьмёт хороший билет, составит $\frac{5}{23}$.

   Таким образом, для первого студента, который выбрал плохой билет:

   $$\text{Общая вероятность для третьего студента} = \frac{5}{24} \cdot \frac{4}{23} + \frac{19}{24} \cdot \frac{5}{23}.$$

   Упростим:

   $$\frac{5}{24} \cdot \frac{4}{23} + \frac{19}{24} \cdot \frac{5}{23} = \frac{20}{552} + \frac{95}{552} = \frac{115}{552} = \frac{115}{552} = \frac{23}{110}.$$

Итоговая вероятность:

Теперь умножим каждую из этих вероятностей на вероятность соответствующих событий (то есть вероятность того, что первый студент взял хороший или плохой билет) и сложим их: