Вычислите длину дуги x = [tex]2cos^{3}t[/tex], y = [tex]2sin^{3}t[/tex].

Найдём производные:

\[x'=-6\cos^{2}t\sin t,\qquad y'=6\sin^{2}t\cos t.\]

Скорость движения точки:

\[\sqrt{(x')^{2}+(y')^{2}}=6\lvert\sin t\cos t\rvert.\]

Длина всей замкнутой дуги при \(0\le t\le 2\pi\):

\[L=\int_{0}^{2\pi}6\lvert\sin t\cos t\rvert\,dt=12.\]

Ответ: \(12\).

0 0 Пожаловаться