Деревянный куб, длина ребра которого 5 см, окрашен, а затем разрезан на кубы, ребра которых равны 1 см. Сколько получится кубов с тремя, двумя, одной окрашенной гранью?

Для того чтобы решить задачу, давайте разберемся, как происходит разрезка и какая будет окрашенная поверхность у маленьких кубиков.

1. Размер исходного куба:
   У нас есть большой деревянный куб с длиной ребра 5 см. Он окрашен снаружи, и потом разрезан на более мелкие кубики с ребром 1 см.
   Площадь поверхности большого куба равна $6 \times (5 \times 5) = 150$ см², так как у куба 6 граней, каждая из которых имеет площадь 25 см².

2. Число маленьких кубиков:
   Большой куб разрезается на маленькие кубики с ребром 1 см. Так как длина ребра большого куба 5 см, то из него получится $\frac{5}{1} = 5$ маленьких кубиков по каждой оси. Следовательно, общее количество маленьких кубиков будет $5 \times 5 \times 5 = 125$.

Теперь, давайте рассмотрим количество кубиков с разным числом окрашенных граней:

Кубики с тремя окрашенными гранями:

Кубики с тремя окрашенными гранями будут находиться в угловых точках большого куба. Всего таких углов в кубе 8. Поэтому, кубиков с тремя окрашенными гранями будет 8.

Кубики с двумя окрашенными гранями:

Кубики с двумя окрашенными гранями расположены на ребрах большого куба, но не в угловых точках. На каждом ребре большого куба есть 5 маленьких кубиков (включая угловые). Из этих 5 кубиков на ребре два будут иметь по две окрашенные грани (по одному на каждом конце ребра, и один — в центре). Так как в кубе 12 рёбер, количество кубиков с двумя окрашенными гранями будет $12 \times 3 = 36$.

Кубики с одной окрашенной гранью:

Кубики с одной окрашенной гранью располагаются на средних участках каждой из 6 граней большого куба (то есть на "площадях", которые не касаются рёбер или углов). На каждой грани большого куба будет 9 таких кубиков (3 по каждой стороне грани, за исключением углов). Так как у нас 6 граней, количество кубиков с одной окрашенной гранью будет $6 \times 9 = 54$.

Кубики без окрашенных граней:

Оставшиеся кубики, которые находятся внутри большого куба и не имеют ни одной окрашенной грани, будут располагаться в центре. Это будет внутренний кубик размером 3×3×3. Его количество $3 \times 3 \times 3 = 27$.

Итог:

• Кубиков с тремя окрашенными гранями — 8
• Кубиков с двумя окрашенными гранями — 36
• Кубиков с одной окрашенной гранью — 54
• Кубиков без окрашенных граней — 27

Таким образом, ответ на задачу:

• 8 кубиков с тремя окрашенными гранями,
• 36 кубиков с двумя окрашенными гранями,
• 54 кубика с одной окрашенной гранью.