Площадь полной поверхности конуса 36. Параллельно основанию проведена плоскость, делящая высоту пополам. Найти площадь поверхности усеченного конуса.

Для решения задачи воспользуемся свойствами конуса и усеченного конуса.

Дано:

• Площадь полной поверхности конуса $S = 36$.
• Плоскость делит высоту конуса пополам, образуя усеченный конус.

Шаги решения:

1. Формула полной поверхности конуса:

Полная поверхность конуса состоит из двух частей:

1. Площадь основания: $S_{\text{осн}} = \pi R^2$, где $R$ — радиус основания.
2. Площадь боковой поверхности: $S_{\text{бок}} = \pi R l$, где $l$ — образующая.

Таким образом,

где $R$ — радиус основания, $l$ — длина образующей.

2. Свойства усеченного конуса:

Если плоскость делит высоту пополам, то радиус сечения $r$ связан с радиусом основания $R$ следующим образом:

Длина образующей $l'$ для усеченного конуса также пропорциональна: она равна половине исходной образующей $l$.

Усеченный конус имеет площадь поверхности, состоящую из трёх частей:

1. Площадь верхнего основания: $S_{\text{верх}} = \pi r^2 = \pi \left(\frac{R}{2}\right)^2 = \frac{\pi R^2}{4}$.
2. Площадь нижнего основания: $S_{\text{низ}} = \pi R^2$.
3. Площадь боковой поверхности усечённого конуса: $$S_{\text{бок}} = \pi (R + r) l' = \pi \left(R + \frac{R}{2}\right) \cdot \frac{l}{2} = \frac{\pi R \cdot 3l}{4}.$$

3. Выражение площади поверхности усеченного конуса:

Суммируем части:

Подставим известные выражения:

4. Найдём связь между $R$, $l$, и исходной площадью:

Из полной площади исходного конуса $S = 36$:

Выразим $\pi R l$:

5. Подставим в формулу для площади усеченного конуса:

Раскроем скобки:

Приведём подобные:

Ответ:

Площадь поверхности усеченного конуса равна 36.