Резервуар снабжается водой по пяти трубам. Первая наполняет его за 1 час; вторая, третья и четвёртая вместе – за 15 мин; вторая, третья и пятая – за 10 мин, четвёртая и пятая – за 20 мин. За какое время его наполнят все 5 труб вместе?

Давайте разберём задачу поэтапно, чтобы найти, за какое время резервуар наполнят все 5 труб вместе. Мы будем использовать принцип сложения скоростей труб. Скорость каждой трубы выражается в доле резервуара, которую она наполняет за 1 час.

1. Обозначим скорости труб:

Пусть:

• $q_1$ — скорость первой трубы,
• $q_2$, $q_3$, $q_4$, $q_5$ — скорости второй, третьей, четвёртой и пятой труб.

Из условия известно:

1. Первая труба наполняет резервуар за 1 час: $$q_1 = 1$$
2. Вторая, третья и четвёртая трубы вместе наполняют резервуар за 15 минут ($\frac{1}{4}$ часа): $$q_2 + q_3 + q_4 = 4$$
3. Вторая, третья и пятая трубы вместе наполняют резервуар за 10 минут ($\frac{1}{6}$ часа): $$q_2 + q_3 + q_5 = 6$$
4. Четвёртая и пятая трубы вместе наполняют резервуар за 20 минут ($\frac{1}{3}$ часа): $$q_4 + q_5 = 3$$

2. Выразим каждую из труб:

Мы имеем систему уравнений:

1. $q_2 + q_3 + q_4 = 4$
2. $q_2 + q_3 + q_5 = 6$
3. $q_4 + q_5 = 3$

Из третьего уравнения выразим $q_5$ через $q_4$:

Подставим $q_5 = 3 - q_4$ во второе уравнение:

Теперь вычтем из первого уравнения:

Подставим $q_4 = \frac{1}{2}$ в третье уравнение:

Теперь подставим $q_4 = \frac{1}{2}$ и $q_5 = \frac{5}{2}$