ДАЮ 65 БАЛЛОВ!
На стороне AB треугольника ABC отметили точку M так, что BM = CM. Отрезок MK - биссектриса треугольник AMC. Докажите, что MK // BC

Давайте подробно разберем доказательство того, что $MK \parallel BC$ в данном треугольнике.

Дано:

1. В треугольнике $ABC$ на стороне $AB$ выбрана точка $M$, такая что $BM = CM$.
2. $MK$ является биссектрисой треугольника $AMC$.

Требуется доказать:

$MK \parallel BC$.

Доказательство:

1. Свойства треугольника

1. Точка $M$ делит сторону $AB$ таким образом, что $BM = CM$. Это условие говорит нам, что $M$ находится на серединном перпендикуляре к стороне $BC$ треугольника $ABC$. Важно отметить, что $BC$ является основанием равнобедренного треугольника $BMC$.

2. Углы треугольника $AMC$

В треугольнике $AMC$, $MK$ является биссектрисой. Это значит, что:

3. Угол между прямыми $MK$ и $BC$

Чтобы доказать, что $MK \parallel BC$, нужно показать, что углы между прямыми $MK$ и $BC$ равны. Рассмотрим углы в треугольнике $AMC$, образующиеся с биссектрисой $MK$, и сравним их с углами, связанными со стороной $BC$.

4. Использование равнобедренного треугольника

Поскольку $BM = CM$, треугольник $BMC$ равнобедренный, и:

Обозначим эти углы как $\alpha$.

5. Углы треугольника $AMC$ и их связь с $BC$

Треугольник $AMC$ содержит угол $\angle AMC$, который делится биссектрисой $MK$ на два равных угла. Пусть угол $\angle AMC = 2\beta$. Тогда:

Так как треугольник $BMC$ равнобедренный, и точка $M$ лежит на серединном перпендикуляре к $BC$, угол между $MK$ и $BC$ равен углу наклона сторон треугольника $AMC$ относительно основания $BC$.

6. Параллельность $MK$ и $BC$

Из свойств углов мы видим, что направление биссектрисы $MK$ в треугольнике $AMC$ совпадает с направлением серединного перпендикуляра к стороне $BC$. Поскольку $M$ уже находится на серединном перпендикуляре, $MK$ оказывается параллельной основанию $BC$.

Вывод:

Таким образом, $MK \parallel BC$ доказано через свойства углов и симметрии треугольников $BMC$ и $AMC$.