Укажите наибольшее целое решение неравенства √(3x-x²) < 4-x

Рассмотрим неравенство:

1. ОДЗ

Для существования корня необходимо, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным:

Разложим $3x - x^2$ на множители:

Отсюда:

Это неравенство выполняется при $x \in [0, 3]$.

Кроме того, правая часть неравенства $4 - x$ должна быть положительной, так как корень всегда неотрицателен. Следовательно:

Таким образом, учитывая ОДЗ, $x \in [0, 3]$.

2. Устранение корня

Квадрат обеих частей возможен только при $4 - x \geq 0$, то есть при $x \leq 4$, что уже учтено. Квадратим неравенство:

Раскрываем скобки справа:

Приводим всё к одной стороне:

3. Решение квадратного неравенства

Рассмотрим квадратное уравнение:

Разделим на $-1$ для удобства:

Выпишем коэффициенты: $a = 2$, $b = -11$, $c = 16$. Найдём дискриминант:

Так как дискриминант отрицательный, действительных корней уравнения нет. Однако мы ищем область, где выражение меньше нуля.

4. Проверка области пересечения

Поскольку $3x - x^2 \geq 0$ при $x \in [0, 3]$, и это пересекается с правой частью.