7. Туристы, отправляясь в поход, планировали пройти весь маршрут за 12 дней, преодолевая
ежедневно одно и то же целое число километров. Однако им удалось пройти весь маршрут за 9
дней, преодолевая ежедневно одно и то же целое число километров. Какова длина всего маршрута,
если известно, что она больше 100 км, но меньше 120 км?

Давайте решим эту задачу шаг за шагом, используя информацию, что туристы прошли весь маршрут за 9 дней, хотя планировали пройти его за 12 дней, а также учитывая ограничения на длину маршрута (больше 100 км, но меньше 120 км).

1. Обозначим длину маршрута за $x$ километров. Эта величина нам пока неизвестна, но известно, что $100 < x < 120$.

2. План по прохождению маршрута: Туристы собирались пройти весь маршрут за 12 дней, каждый день преодолевая одно и то же количество километров. Обозначим это планируемое ежедневное расстояние за $a$ км. Тогда длина всего маршрута $x$ равна:

   $$x = 12 \cdot a$$

3. Фактическое прохождение маршрута: Туристы прошли весь маршрут за 9 дней, также преодолевая каждый день одно и то же количество километров, которое обозначим за $b$ км. Тогда длина маршрута также равна:

   $$x = 9 \cdot b$$

4. Сравнение двух выражений для $x$: Поскольку оба выражения для $x$ отражают одну и ту же длину маршрута, можем записать уравнение:

   $$12 \cdot a = 9 \cdot b$$

   или, упростив, $4a = 3b$.

5. Целочисленные значения для $a$ и $b$: Поскольку и $a$, и $b$ – целые числа (они отражают количество километров, пройденных за день), будем подбирать такие значения $a$ и $b$, чтобы выполнялось условие $4a = 3b$.

6. Проверка возможных значений для длины маршрута $x$: Мы знаем, что $x$ должно быть больше 100 км, но меньше 120 км. Подставим подходящие значения $a$ и $b$, чтобы найти $x$, удовлетворяющее этим условиям.

   • Первое возможное значение: Пусть $a = 9$. Тогда $b = \frac{4 \cdot 9}{3} = 12$. В этом случае длина маршрута:

     $$x = 12 \cdot 9 = 108 \, \text{км}$$

     Это значение удовлетворяет условию $100 < x < 120$.

   • Следующие возможные значения $a$ и $b$ (например, $a = 12$, $b = 16$) дают длину маршрута $x = 12 \cdot 12 = 144 \, \text{км}$, что уже не удовлетворяет условию задачи, так как $x > 120$.

7. Ответ: Единственное подходящее значение для длины маршрута, удовлетворяющее всем условиям, – это 108 км.

Итак, длина всего маршрута составляет 108 км.