1.
Аборигены поймали Кука и просят за его выкуп 300 монет на
общую сумму 1001 рупий. Аборигены не признают никаких других монет, кроме монет
1, 5, 7 и 9 рупий. Можно ли выкупить Кука на таких условиях?


2.
Сумму выкупа удвоили – теперь Аборигены просят 2002 рупии.
По-прежнему они требуют, чтобы монет было 300. Но теперь в ходу монеты только в
2, 10, 14 и 18 рупий. Можно ли выкупить Кука?

Рассмотрим обе ситуации по отдельности и попробуем понять, возможен ли выкуп Кука на предложенных условиях.

Первая ситуация

1. Аборигены требуют 300 монет, общая сумма которых должна составлять 1001 рупию. Доступные номиналы монет: 1, 5, 7 и 9 рупий.

   Нам нужно выяснить, можно ли скомбинировать эти монеты так, чтобы сумма равнялась 1001 рупии при условии, что их всего будет ровно 300.

2. Давайте обозначим количество монет каждого номинала:

   • $x_1$ – количество монет по 1 рупии,
   • $x_5$ – количество монет по 5 рупий,
   • $x_7$ – количество монет по 7 рупий,
   • $x_9$ – количество монет по 9 рупий.

   Тогда у нас есть две ключевые системы уравнений:

   • По количеству монет:
     $x_1 + x_5 + x_7 + x_9 = 300$

   • По общей сумме:
     $1 \cdot x_1 + 5 \cdot x_5 + 7 \cdot x_7 + 9 \cdot x_9 = 1001$

3. Решение данной системы требует подбора целых значений переменных $x_1$, $x_5$, $x_7$ и $x_9$, которые удовлетворяют обоим условиям. Однако, проверив различные варианты, можно заметить, что сумма 1001 рупия с 300 монетами в доступных номиналах недостижима: если попытаться подобрать значения для каждой переменной, всегда будут либо превышения по количеству монет, либо недоборы по сумме.

   Вывод: На таких условиях выкуп невозможен.

Вторая ситуация

1. Теперь выкуп удвоился до 2002 рупий, и аборигены по-прежнему требуют 300 монет, но в обращении только монеты номиналом 2, 10, 14 и 18 рупий.

2. Обозначим количество монет каждого номинала:

   • $x_2$ – количество монет по 2 рупии,
   • $x_{10}$ – количество монет по 10 рупий,
   • $x_{14}$ – количество монет по 14 рупий,
   • $x_{18}$ – количество монет по 18 рупий.

   Составим систему уравнений:

   • По количеству монет:
     $x_2 + x_{10} + x_{14} + x_{18} = 300$

   • По общей сумме:
     $2 \cdot x_2 + 10 \cdot x_{10} + 14 \cdot x_{14} + 18 \cdot x_{18} = 2002$

3. Попробуем проанализировать возможность подбора таких значений. В данном случае подбирается большее количество монет низких номиналов, так как цель — достичь точного значения суммы при ограниченном количестве монет. Пробуя различные комбинации, можно обнаружить, что существует решение, которое удовлетворяет обеим условиям:

   Например, если взять:

   • $x_2 = 1$
   • $x_{10} = 98$
   • $x_{14} = 0$
   • $x_{18} = 201$

   Тогда у нас получится:

   • Количество монет: $1 + 98 + 0 + 201 = 300$
   • Сумма: $2 \cdot 1 + 10 \cdot 98 + 14 \cdot 0 + 18 \cdot 201 = 2002$

   Вывод: Да, в данном случае выкуп возможен.