Вероятность поражения мишени стрелком при одном выстреле равна 0,8 . Найти вероятность того,что при 100 выстрелах мишень будет поражена не менее 60 раз и не более 85 раз

Для решения задачи нам нужно найти вероятность того, что мишень будет поражена от 60 до 85 раз включительно при 100 выстрелах, если вероятность поражения мишени при одном выстреле составляет $p = 0.8$.

Подход к решению:

Поскольку речь идет о серии независимых выстрелов с одинаковой вероятностью успеха, задача относится к биномиальному распределению. Однако вычисление биномиальных вероятностей напрямую для такого большого числа испытаний (100 выстрелов) может быть громоздким. Вместо этого можно использовать приближение нормальным распределением, что допустимо, поскольку $n$ (число выстрелов) достаточно велико, а вероятность успеха $p$ не слишком близка к 0 или 1.

Шаги решения:

1. Параметры биномиального распределения: Для биномиального распределения $B(n, p)$:

   • Математическое ожидание: $\mu = n \cdot p = 100 \cdot 0.8 = 80$,
   • Дисперсия: $\sigma^2 = n \cdot p \cdot (1 - p) = 100 \cdot 0.8 \cdot 0.2 = 16$,
   • Среднеквадратическое отклонение: $\sigma = \sqrt{16} = 4$.

2. Нормальное приближение: Согласно центральной предельной теореме, биномиальное распределение можно аппроксимировать нормальным распределением $N(\mu, \sigma^2)$, то есть $N(80, 16)$, где $\mu = 80$, а $\sigma = 4$.

3. Коррекция непрерывности: Чтобы учесть дискретность биномиального распределения, используем коррекцию непрерывности. Например:

   • $P(X \geq 60)$ заменяется на $P(X \geq 59.5)$,
   • $P(X \leq 85)$ заменяется на $P(X \leq 85.5)$.

   Таким образом, вероятность $P(60 \leq X \leq 85)$ будет вычисляться как:

   $$P(60 \leq X \leq 85) = P(59.5 \leq X \leq 85.5)$$

4. Переход к стандартному нормальному распределению: Чтобы воспользоваться таблицами стандартного нормального распределения (или функцией $\Phi(z)$), преобразуем границы к $z$-координатам:

   $$z = \frac{X - \mu}{\sigma}$$
   • Для $X = 59.5$: $z_1 = \frac{59.5 - 80}{4} = \frac{-20.5}{4} = -5.125$,
   • Для $X = 85.5$: $z_2 = \frac{85.5 - 80}{4} = \frac{5.5}{4} = 1.375$.

5. Вычисление вероятностей: Теперь $P(59.5 \leq X \leq 85.5)$ равна разности двух вероятностей стандартного нормального распределения:

   $$P(59.5 \leq X \leq 85.5) = \Phi(z_2) - \Phi(z_1)$$

   Где $\Phi(z)$ — это значение функции распределения стандартного нормального распределения в точке $z$.

6. Поиск значений $\Phi(z)$:

   • Для $z_1 = -5.125$: $\Phi(-5.125)$ практически равно 0 (очень малая вероятность),
   • Для $z_2 = 1.375$: по таблице стандартного нормального распределения $\Phi(1.375) \approx 0.9154$.

7. Результат: Таким образом:

   $$P(59.5 \leq X \leq 85.5) \approx 0.9154 - 0 = 0.9154$$

Ответ:

Вероятность того, что мишень будет поражена не менее 60 раз и не более 85 раз при 100 выстрелах, составляет приблизительно 91.54%.