Найдите частное решения уравнения: 4xydx=(x^2+1)dy y=4 при x=1

Для нахождения частного решения уравнения $4x y \, dx = (x^2 + 1) \, dy$ с условием $y = 4$ при $x = 1$, нужно выполнить несколько шагов. Рассмотрим это уравнение как дифференциальное и решим его.

1. Приведение уравнения к более удобному виду

Перепишем исходное уравнение:

Разделим переменные, чтобы выразить $dx$ через $dy$. Для этого разделим обе части уравнения на $(x^2 + 1)$ и $y$:

Теперь у нас есть уравнение, где все $x$-переменные собраны с одной стороны, а все $y$-переменные — с другой.

2. Интегрирование обеих частей

Интегрируем обе стороны уравнения.

Слева: интегрируем выражение $\frac{4x y}{x^2 + 1} \, dx$. Здесь $y$ является постоянной по отношению к $x$, поэтому его можно вынести за знак интеграла:

Интеграл $\int \frac{4x}{x^2 + 1} \, dx$ легко вычисляется, используя стандартную подстановку. Пусть $u = x^2 + 1$, тогда $du = 2x \, dx$, и интеграл превращается в:

Таким образом, левая часть интеграла:

Теперь правая часть уравнения — это просто интеграл от $dy$, который дает:

3. Получение общего решения

Получаем следующее уравнение:

где $C$ — константа интегрирования.

4. Подстановка начальных условий

Теперь используем начальное условие $y = 4$ при $x = 1$, чтобы найти константу $C$.

Подставим $x = 1$ и $y = 4$ в уравнение:

Упростим:

Следовательно:

5. Частное решение

Теперь подставим найденную константу $C$ обратно в общее решение:

Это и будет частным решением задачи для данного начального условия.