В один ряд расположены 1000 фишек. Любые две фишки, расположенные через одну, разрешается поменять местами . Можно ли переставить фишки в обратном порядке?

Задача состоит в том, чтобы понять, можно ли переставить 1000 фишек, расположенных в определённом порядке, в обратный порядок, если разрешается менять местами только фишки, которые расположены через одну. То есть, вы можете менять местами фишки, находящиеся на чётных или нечётных позициях (например, фишки на 1-й и 3-й позиции или на 2-й и 4-й), но не можете напрямую менять местами фишки, стоящие на соседних позициях или на таких, которые находятся через одну на разных чётных/нечётных позициях.

Разбор задачи:

1. Условие задачи говорит, что фишки можно менять местами только через одну. Это значит, что мы ограничены в возможности перемещения фишек. Если обозначить их как $f_1, f_2, f_3, \dots, f_{1000}$, то мы можем менять местами только такие фишки:

   • $f_1$ с $f_3$, $f_5$, $f_7$ и так далее.
   • $f_2$ с $f_4$, $f_6$, $f_8$ и так далее.

2. Как можно перебирать фишки:

   • Вы не можете напрямую перемещать фишки с чётных позиций на нечётные и наоборот.
   • Таким образом, фишки на нечётных позициях (например, $f_1, f_3, f_5, \dots$) могут перемещаться только друг с другом. Точно так же фишки на чётных позициях (например, $f_2, f_4, f_6, \dots$) могут перемещаться только друг с другом.

3. Проблема с перестановкой в обратный порядок: Чтобы переставить фишки в обратный порядок, нужно будет как минимум поменять местами фишки на чётных и нечётных позициях. Однако, в нашем случае фишки на чётных позициях не могут попасть на нечётные и наоборот, поскольку мы ограничены правилом «через одну». Следовательно, можно перемещать только фишки внутри чётных позиций и внутри нечётных позиций, но не между ними.

4. Инвариант перестановок: Это создаёт важный инвариант — фишки, которые изначально стояли на чётных позициях, останутся на чётных позициях, а фишки, которые стояли на нечётных позициях, останутся на нечётных. Таким образом, даже если мы изменим местами фишки в пределах одной группы (чётных или нечётных позиций), то фишки не смогут быть перенесены в противоположные группы.

Заключение:

Так как фишки на чётных позициях не могут перемещаться на нечётные и наоборот, мы не можем изменить их местами таким образом, чтобы все фишки оказались в обратном порядке. Ответ на задачу: невозможно переставить фишки в обратном порядке при таких ограничениях.