В амфитеатре 23 ряда, причём в каждом следующем ряду на одно и то же число мест больше, чем в предыдущем. В седьмом ряду 26 мест, а в одиннадцатом ряду 34 места. Сколько мест в последнем ряду амфитеатра?

Задача сводится к нахождению количества мест в последнем ряду амфитеатра при условии, что количество мест увеличивается на постоянное количество мест в каждом следующем ряду.

1. Обозначения и дано: Пусть $a_n$ — количество мест в $n$-м ряду. Нам известно:

   • В 7-м ряду 26 мест: $a_7 = 26$,
   • В 11-м ряду 34 места: $a_{11} = 34$,
   • Всего 23 ряда.

   Мы знаем, что количество мест увеличивается на постоянное число в каждом следующем ряду. Это означает, что последовательность количества мест в рядах амфитеатра является арифметической прогрессией.

2. Обозначения для арифметической прогрессии: Пусть $a_1$ — количество мест в первом ряду, а $d$ — разница между количеством мест в соседних рядах. Тогда формула для количества мест в $n$-м ряду будет выглядеть так:

   $$a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d.$$

3. Используем данные: Из условия задачи мы знаем, что:

   $$a_7 = a_1 + 6d = 26 \quad \text{и} \quad a_{11} = a_1 + 10d = 34.$$

   Теперь решим систему из этих двух уравнений:

   • Первое уравнение: $a_1 + 6d = 26$,
   • Второе уравнение: $a_1 + 10d = 34$.

4. Решение системы: Из второго уравнения вычитаем первое:

   $$(a_1 + 10d) - (a_1 + 6d) = 34 - 26,$$ $$4d = 8,$$ $$d = 2.$$

   Подставим $d = 2$ в первое уравнение:

   $$a_1 + 6 \cdot 2 = 26,$$ $$a_1 + 12 = 26,$$ $$a_1 = 14.$$

   Таким образом, количество мест в первом ряду $a_1 = 14$, а разница между соседними рядами $d = 2$.

5. Нахождение количества мест в последнем ряду (23-й ряд): Используя формулу для $n$-го члена арифметической прогрессии, находим количество мест в 23-м ряду:

   $$a_{23} = a_1 + (23 - 1) \cdot d = 14 + 22 \cdot 2 = 14 + 44 = 58.$$

Ответ: В последнем (23-м) ряду амфитеатра 58 мест.