Вероятность поражения цели при одном выстреле равна 0,6. Найти вероятность того, что при 1000 выстрелах цель будет поражена : 1) ровно 400 раз; 2) от100 до 400 раз.

Решение задачи

Вероятность поражения цели при одном выстреле составляет $p = 0.6$. Задача требует найти вероятность двух событий:

1. цель будет поражена ровно 400 раз из 1000 выстрелов;
2. цель будет поражена от 100 до 400 раз включительно.

Используем биномиальное распределение, так как каждый выстрел — это независимое испытание, и вероятность попадания одинакова для каждого выстрела. Формула вероятности для биномиального распределения имеет вид:

где:

• $n = 1000$ — общее число выстрелов;
• $k$ — число попаданий;
• $p = 0.6$ — вероятность попадания;
• $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k! (n-k)!}$ — число сочетаний.

Однако при больших значениях $n$ вычисления по этой формуле трудоемки, поэтому используем приближение нормальным распределением.

Шаг 1. Применение нормального приближения

При большом $n$ биномиальное распределение $B(n, p)$ можно аппроксимировать нормальным распределением:

где:

• математическое ожидание $\mu = n \cdot p$,
• дисперсия $\sigma^2 = n \cdot p \cdot (1-p)$,
• стандартное отклонение $\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}$.

Для нашей задачи:

Теперь вероятность попаданий $P(a \leq X \leq b)$ можно найти через стандартное нормальное распределение $Z$, связанное с $X$ по формуле:

Шаг 2. Вычисление вероятностей

1. Вероятность ровно 400 попаданий ($P(X = 400)$)
   Для нормального распределения вероятность "ровно $k$" стремится к нулю, так как оно непрерывное. Однако мы можем найти вероятность в окрестности $k = 400$ (например, от 399.5 до 400.5). Это дает нам приближенную вероятность для биномиального распределения.

Переход к $Z$:

Вероятности для таких экстремальных значений $Z$ практически равны нулю. Это означает, что вероятность ровно 400 попаданий чрезвычайно мала.

2. Вероятность попаданий от 100 до 400 ($P(100 \leq X \leq 400)$)
   Переходим к $Z$-координатам:

Значение $Z$-критериев далеко за пределами стандартных границ ($Z > 3$ или $Z < -3$), а вероятность для таких интервалов также стремится к нулю.

Итоговые выводы:

1. Вероятность ровно 400 попаданий настолько мала, что её можно считать практически равной нулю.
2. Вероятность попаданий от 100 до 400 выстрелов также чрезвычайно мала, практически нулевая.

Это объясняется тем, что математическое ожидание и основная масса вероятностей сосредоточены около $\mu = 600$, а отклонение от среднего значения более чем на $200$ крайне маловероятно.