Производится 21 выстрел по цели, вероятность попадания в которую при
одном выстреле равна 0,25. Найти наивероятнейшее число попаданий в цель.
Найти вероятность наивероятнейшего числа попаданий в цель.

Для решения задачи о наивероятнейшем числе попаданий и вероятности этого числа будем использовать биномиальное распределение, поскольку событие "попадание в цель" при каждом выстреле независимо от остальных, а вероятность успеха постоянна.

Дано:

• $n = 21$ — общее количество выстрелов.
• $p = 0,25$ — вероятность попадания при одном выстреле.
• $q = 1 - p = 0,75$ — вероятность промаха при одном выстреле.

1. Наивероятнейшее число попаданий

Наивероятнейшее число попаданий (мода биномиального распределения) определяется формулой:

Здесь $\lfloor x \rfloor$ означает "целая часть числа" или "округление вниз".

Подставим значения $n = 21$ и $p = 0,25$:

Таким образом, наивероятнейшее число попаданий — 5.

2. Вероятность наивероятнейшего числа попаданий

Для вычисления вероятности $P(X = k)$, где $X$ — количество попаданий, используем формулу биномиального распределения:

Здесь:

• $C_n^k$ — биномиальный коэффициент, равный $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$,
• $p^k$ — вероятность $k$-го успеха,
• $q^{n-k}$ — вероятность оставшихся $n-k$ неудач.

Для $k = 5$, $n = 21$, $p = 0,25$, $q = 0,75$:

Сначала вычислим биномиальный коэффициент $C_{21}^5$:

Теперь подставим значения:

Вычислим отдельно степени и произведение:

• $(0,25)^5 = 0,0009765625$,
• $(0,75)^{16} \approx 0,100112915$.

Теперь умножим все вместе:

Выполним вычисления:

Ответ:

1. Наивероятнейшее число попаданий: $5$.
2. Вероятность наивероятнейшего числа попаданий: примерно $0,198$ или $19,8\%$.