В тетраэдре DABC длины всех ребер равны. Расстояние между прямыми DC и AB равно 6, точка P середина ребра AD, точка M середина ребра BC. Найдите расстояние между прямыми PM и AC.

Задача о нахождении расстояния между прямыми в тетраэдре может быть довольно сложной, но давайте попробуем разобрать её шаг за шагом.

Дано:

• Тетраэдр $DABC$ с равными длинами всех рёбер (то есть это правильный тетраэдр).
• Расстояние между прямыми $DC$ и $AB$ равно 6.
• Точка $P$ — середина ребра $AD$.
• Точка $M$ — середина ребра $BC$.
• Требуется найти расстояние между прямыми $PM$ и $AC$.

Подход к решению:

1. Рассмотрим координаты вершин тетраэдра.

   Поскольку все рёбра тетраэдра равны, мы можем удобно задать координаты вершин в 3D-пространстве. Для простоты, примем, что тетраэдр размещен в декартовой системе координат. Пусть координаты вершин будут следующими:

   • $D(0, 0, 0)$
   • $A(a, 0, 0)$
   • $B\left( \frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, 0 \right)$
   • $C\left( \frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{6}, \frac{a\sqrt{6}}{3} \right)$

   Здесь $a$ — длина рёбер тетраэдра, которую мы пока не знаем, но которая будет нам нужна для вычислений.

2. Расстояние между прямыми $DC$ и $AB$.

   Из условия задачи известно, что расстояние между прямыми $DC$ и $AB$ равно 6. Для того чтобы найти это расстояние, нужно сначала определить уравнения этих прямых и затем воспользоваться формулой для расстояния между скрещивающимися прямыми. Однако, для упрощения, можно сразу перейти к следующему шагу, так как нас просят найти расстояние между другими прямыми.

3. Определим координаты точек $P$ и $M$.

   Точка $P$ — середина ребра $AD$. Таким образом, координаты точки $P$ будут:

   $$P\left( \frac{a}{2}, 0, 0 \right)$$

   Точка $M$ — середина ребра $BC$. Координаты точки $M$ вычисляются как среднее арифметическое координат точек $B$ и $C$:

   $$M\left( \frac{a}{2} + \frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2} + \frac{a\sqrt{3}}{6}, \frac{a\sqrt{6}}{3} \right) = \left( a, \frac{2a\sqrt{3}}{3}, \frac{a\sqrt{6}}{3} \right)$$

4. Нахождение расстояния между прямыми $PM$ и $AC$.

   Теперь, чтобы найти расстояние между прямыми $PM$ и $AC$, нам нужно использовать общую формулу для расстояния между скрещивающимися прямыми. Однако, учитывая, что прямые $PM$ и $AC$ не параллельны, мы можем воспользоваться следующим подходом.

   Для нахождения расстояния между двумя скрещивающимися прямыми нужно:

   • Найти векторное произведение направляющих векторов этих прямых.
   • Вычислить расстояние с помощью формулы для скрещивающихся прямых.

   Направляющий вектор для прямой $PM$ — это разность координат точек $P$ и $M$:

   $$\overrightarrow{PM} = \left( a - \frac{a}{2}, \frac{2a\sqrt{3}}{3} - 0, \frac{a\sqrt{6}}{3} - 0 \right) = \left( \frac{a}{2}, \frac{2a\sqrt{3}}{3}, \frac{a\sqrt{6}}{3} \right)$$

   Направляющий вектор для прямой $AC$ — это разность координат точек $A$ и $C$:

   $$\overrightarrow{AC} = \left( \frac{a}{2} - a, \frac{a\sqrt{3}}{6} - 0, \frac{a\sqrt{6}}{3} - 0 \rig$$